Como partir de una Serie de Potencias para llegar a la famosa y temida "Transformada de Laplace"...
Comenzamos sabiendo que esta es la expresión estándar de una Serie de Potencias.
En la cual, para cada valor de a sub n y para cada valor de x, A(x) tendrá un valor único y diferente.
Ahora, sabemos que el término a sub n es un coeficiente, pero bien, podría tratarse de una función cualquiera en términos de n
Si nos fijamos, de esta manera, una Serie de Potencias es una Función Discreta, cuya variable es n.
Pero esa función discreta, podemos volverla continua, simplemente cambiando la variable discreta n, por una variable analoga, digamos t, y cambiando la sumatoria, por una sumatoria de valores continuos, es decir, una Integral y además, cumpliendo que esta integral debe ser Convergente en el mismo radio que lo hace de manera Discreta.
Realizando este cambio, ya se nota como hemos alterado la función inicial y de hecho, podriamos dejarla así, pero entonces, tendríamos el problema de que esta integral solo converge, cuando x tiene valores entre -1 y 1, lo cual no es conveniente desde el punto de vista práctico.
Entonces, procedemos a buscar una funcion homóloga a una potencia de x, pero cuyo radio de convergencia sea todos los números reales... Digamos que la función exponencial, es altamente apropiada aquí, ya que no tiene restricciones en su dominio y ademas, a la hora de Derivar e Integrar, es muy manejable acompañando a otras funciones (como nuestra a(t), que a partir de este momento va a convertirse en f(t), ya que es la nomenclatura mas apropiada para tratar una función continua). Así, realizando el cambio de variable, tendríamos:
Pero aquí, volvemos a tener problemas, ya que hemos hecho mas pequeño nuestro dominio, debido a que la función Logaritmo Natural (ln) solo la podemos aplicar de 0 a 1, esto gracias a que, para valores negativos en el Dominio, el Rango se proyecta en los Numeros Imaginarios... y nadie quiere trabajar con Números Imaginarios, o si?
Así que ahora debemos hacer otro cambio de variable, para que nuestra función sea mas "compatible" con el uso cotidiano y no tengamos que hacer piruetas para ampliar nuestro dominio. Digamos, que yo hubiera puesto como variable una Z, pero a alguien se le ocurrió que la Transformada Z, sería útil para otras cosas, así que, en ese caso, usemos... no sé, puede ser la letra S.
De esta manera, podemos usar cualquier número Real, e intrínsecamente estaríamos trabajando, por debajo, con el poco deseado Logaritmo Natural.
Así que uniendo todos estos términos, cambios de nomenclatura, dominios y variables, nuestra Serie de Potencias se ha convertido en:
La cual, es la ecuación, en su forma principal, de la, tan controvertida, Transformada de Laplace.
Claro que, no olvidemos que aunque estamos trabajando con la polifacética variable S, en realidad solo hemos maquillado, nuestra función, para que nos sea más fácil trabajar con ella y que en realidad todo es función del Logaritmo Natural de nuestra variable Análoga.
Como podemos apreciar, la Transformada de Laplace, con su nombre rimbombante y su poderosa manera de convertir cualquier función lineal en un polinomio, no es más que la versión Análoga-Continua de nuestra Serie de Potencias...
Por eso amo las Series de Potencias!!!
